A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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MATRIZ INVERSA

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La matriz inversa, de una matriz A, se representa como $A^{-1}$; y esta se obtiene a través de la siguiente igualdad:
$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
Como vemos en la fórmula, se cumple la propiedad conmutativa, es decir, A·A-1=A-1·A. Sin embargo, no todas las matrices cumplen con esta condición, por ello: una matriz es invertible o regular, si existe su inversa. Por lo contrario, las restantes pasarán a denominarse no regulares o singulares. Con respecto a este tema, se puede anunciar con total seguridad, que si existe la inversa de una matriz A, esta es única (Demostración).
Es importante, y cabe a destacar que unicamente tienen inversa las matrices cuadradas...

En este post, aprenderemos a hallar la inversa de una matriz a través de tres métodos distintos, aplicados a distintas áreas y conocimientos de álgebra:
✴️NECESARIO SABER✴️
Operar con matrices → acceder
Calcular una matriz traspuesta de otra → acceder
Resolver un sistema de ecuaciones lineal (pendiente)
Calcular un determinante → acceder
Calcular la matriz adjunta de otra → acceder

MÉTODOS
  • Aplicando la definición (método de Gauss):
Si aplicamos la definición de la matriz inversa, sabemos que el producto de la misma con la original, ha de resultar la matriz identidad (con el orden n correspondiente)
A·A-1=A-1·A=I
 A continuación, veremos un ejemplo:
Calcular la inversa de A= $\begin{pmatrix}
0 & 4\\
5 & 0
\end{pmatrix}$
En esta ocasión, no hemos requerido de resolver un sistema de ecuaciones, dado que dimos con ecuaciones de primer grado con tan solo una incógnita.

  • Usando el método de Gauss-Jordan:
En este método, deberemos convertir la matriz A (siendo A-1 nuestro objetivo), en la matriz identidad, aplicando las mismas operaciones en ambas matrices. Veamos un ejemplo:
Calcular la inversa de A= $\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & 3 \\
-2 & 5 & -3
\end{pmatrix}$

  •   Usando determinantes:
En mi opinión, este método es el más rápido, si tuviera que hallar una inversa en un examen, yo usaría este método. Su fórmula correspondiente es:
$$A^{-1}=\frac{[adj(A)]^t}{|A|}$$
Si tenemos en cuenta este método, podemos deducir la siguiente conclusión:
 Hallemos una inversa a través de este método:
 Calcular la inversa de $A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 1 & -1\\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}$
 

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