CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES

Las matrices son una herramientas de las matemáticas, que nos permiten representar una serie de datos (como por ejemplo: listas, tablas...) de forma ordenada:

• DIMENSIONES DE UNA MATRIZ: Una matriz de $m \times n$ dimensiones, referida por $m$ filas y $n$ columnas, tiene la siguiente estructura:
  

  $\begin{pmatrix}
  a_{11} & \cdots  & a_{1n}\\
  \vdots  & \ddots  & \vdots \\
  a_{m1} & \cdots  & a_{mn}
  \end{pmatrix}$

• ABREVIACIÓN DE MATRICES: Usualmente, llamamos a una matriz con cualquier letra mayúscula, como por ejemplo $A$.

• ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: Para 'destacar' un elemento de una matriz, solemos recurrir a la letra $a$, acompañada de un subíndice que indica la posición exacta del elemento en la matriz:

 $A=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
3 & 0
\end{pmatrix} , \: \begin{matrix}
a_{11}=2\\ a_{22}=0

\end{matrix}$

• IGUALDAD DE MATRICES: Para igualar una matriz a otra, hemos de tener en cuenta dos factores:

1.  Deben tener las mismas dimensiones
2. Iguales elementos en iguales posiciones $(a_{mn} \in A = a_{mn} \in B, \: donde \: A \: y \: B \: son \: matrices \: iguales)$

CLASES DE MATRICES

Según sus dimensiones

• Matriz fila: $1 \times n \longrightarrow \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{22} & \cdots  & a_{1n}
  \end{pmatrix}$

• Matriz columna: $m \times 1 \longrightarrow \begin{pmatrix}
  a_{11}\\ a_{21}
  \\ \vdots
  \\ a_{m1}
  
  \end{pmatrix}$

• Matriz cuadrada: $m \times m \longrightarrow \begin{pmatrix}
  a_{11} & \cdots  & a_{1m} \\
  \vdots  & \ddots  & \vdots  \\
  a_{m1} & \cdots  & a_{mm}
  \end{pmatrix}, $ donde $m$ es el orden de la matriz cuadrada

Según sus elementos

• Matriz escalonada: El número de ceros en la matriz va aumentando (con el aumento de columnas). Un ejemplo:

$\begin{pmatrix}
3 & 4 & 3\\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

• Matriz diagonal: Matriz cuadrada, cuyos elementos que se encuentran afuera de la diagonal principal, son cero. Un ejemplo:

$\begin{pmatrix}
9 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

• Matriz nula: Cualquier matriz que tenga todos los elementos reducidos a cero $(a_{mn}=0 \rightarrow \forall \: m,n)$

• Matriz triangular: Matriz cuadrada, que a un lado de su diagonal, todos sus elementos son cero. Un ejemplo:

$A=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0\\
5 & 4 & 0\\
1 & 6 & 1
\end{pmatrix}$, diagonal superior nula → Matriz triangular

$B=\begin{pmatrix}
1 & 9 & 9\\
0 & 6 & 9\\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}$, diagonal inferior nula → Matriz triangular

• Matriz identidad: Matriz cuadrada, representada generalmente por $I$, cuya diagonal, está compuesta de unos, y el resto de ceros. Su estructura es la siguiente:

$I_1=(1), I_2=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}, I_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \: ... \Leftrightarrow I_n=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots  &0 \\
0 & 1 & \cdots  &0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
0 & 0 & \cdots  & 0
\end{pmatrix}$

Otras

• Matriz opuesta: Dada una matriz $A$, su opuesta se denominará $-A$, y tendrá todos sus elementos cambiados de signo. Por ejemplo:

$A=\begin{pmatrix}
3 & 1 &0 \\
4 & -2 & 2
\end{pmatrix}, -A=\begin{pmatrix}
-3 & -1 &0 \\
-4 & 2 & -2
\end{pmatrix}$

• Matriz traspuesta: Dada una matriz $A$, su traspuesta se denominará $A^t$; y en esta los elementos de una fila pasarán a pertenecer a una columna, y viceversa. Veamos un ejemplo:

$A=\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
2 & 0 & 0
\end{pmatrix}, A^t =\begin{pmatrix}
3 & 2\\
4 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix}$

Animación extraída de Wikipedia (ir al artículo)

• Matriz simétrica: Matriz cuadrada, que coincide con la traspuesta. Veamos un ejemplo:

$A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0\\
3 & 5 & 6\\
0 & 6 & -3
\end{pmatrix}, A^t=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0\\
3 & 5 & 6\\
0 & 6 & -3
\end{pmatrix} \Rightarrow \: \therefore A=A^t \Rightarrow$, $A$ es simétrica

• Matriz antisimétrica: Matriz cuadrada, que coincide con la opuesta de la traspuesta. Veamos un ejemplo:

$A=\begin{pmatrix}
0 & 3 & 0\\
-3 & 0 & 6\\
0 & -6 & 0
\end{pmatrix}, A^t=\begin{pmatrix}
0 & -3 & 0\\
3 & 0 & -6\\
0 & 6 & 0
\end{pmatrix} \Rightarrow A=-A^t \Rightarrow$ La matriz $A$ es antisimétrica

ACTIVIDADES

1. Determinar $x,y,z$, para que las matrices $A$ y $B$ sean iguales: $$A=\begin{pmatrix}
   1 & 4 &0\\
   3 & -2 & 5
   \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}
   2y & -4x &0\\
   3 & -2 & 2z+1
   \end{pmatrix}$$ Soluciones: $x=-1, y=1/2, z=2$
2. Calcula los valores de $a, b $ y $c$, para que la matriz $A$, sea antisimétrica. Calcula después su opuesta y traspuesta $$A=\begin{pmatrix}
   0 & 1 & 4 & -3\\
   -1 & 0 & a & -4\\
   -4 & 1 & 0 & b\\
   3 & c & 2 & 0
   \end{pmatrix}$$ Soluciones: $a=-1 , b=-2, c=4$ | $-A=\begin{pmatrix}
   0 & -1 & -4 & 3\\
   1 & 0 & 1 & 4\\
   4 & -1 & 0 & 2\\
   -3 & -4 & -2 & 0
   \end{pmatrix}$ | $A^t = \begin{pmatrix}
   0 & -1 & -4 & 3\\
   1 & 0 & 1 & 4\\
   4 & -1 & 0 & 2 \\
   -3 & -4 & -2 & 0
   \end{pmatrix}$

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