Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$, we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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Definición de LÍMITE
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Estamos por introducirnos a unas de las herramientas más poderosas y útiles en el cálculo infinitesimal: límites. Nos sirven para analizar el comportamiento de una función o incluso determinar el caracter de series numéricas. Comenzemos definiendo el concepto informalmente: Definición informal: Dada una función $f(x)$, su límite en el punto $x=\theta$, estando el dominio de la función definido al menos en entornos reducidos ($ E_r(\theta) , r \rightarrow 0 $) al punto, será el valor al que tienden las imágenes de dichos entornos. Gráficamente:
Interpretación gráfica animada de un límite
Por ejemplo:
$$L=\lim _{x\rightarrow 3} x^2+1=10$$
Dado que en entornos reducidos al punto, las imágenes tienden a ser $y=10$, tanto por la izquierda como por la derecha. Basándonos en lo anterior, podemos deducir que un límite existe realmente si los límites laterales (es decir, de entornos reducidos) coinciden:
Donde $\left | x-a \right |$ y $\left | f(x)-L \right |$ son distancias.
Para entender el concepto, veamos otra gráfica formal:
Como vemos, tanto si nos acercamos por la derecha o por la izquierda de $x=c$, sumando o restando una cantidad máxima $\left ( \delta > 0 \right )$, obtendremos una imagen cualquiera menor que $y=L\pm \varepsilon$. De esta manera, podemos obtener la definición formal de límite.
Si no se ha entendido, recomiendo la visualización del siguiente vídeo:
Ya entendido, procedamos a demostrar el valor de un determinado límite, usando propiamente la definición:
Demostrar, usando la definición de límite: $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} \left ( x^2-1 \right ) =-1$
Demostrar, usando la definición de límite: $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1} \left ( \frac{x+3}{2} \right ) =2$
Demostrar, usando la definición de límite: $\displaystyle \lim _{x\rightarrow -1} \left ( \frac{x^2-1}{x+1} \right ) =-2$
El valor absoluto de un número, es el valor del mismo sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de $-3$ es $3$ $(|-3|=3)$ . De aquí, obtenemos la siguiente conclusión: $$ \boldsymbol{Dado \ un \ valor \ x \longrightarrow \left | x \right |\geq 0}$$ PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Simetría $|x|=|-x|$ 'Definición positiva' $|0|=0$ 'Valor absoluto y producto' $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$ 'Desigualdad triangular' $|x+y| \leq |x|+|y|$ $|x| = \sqrt{x^2} $ Demostración $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ Demostración $|a^n|=|a|^n$ Demostración $|x|=a \Rightarrow x_1=a , x_2=-a$ Demostración $|x|<n \Rightarrow -n<x<n$ Demostración $|x| \geq c \Rightarrow -c \geq x, x \geq c $ Demostración En la mayoría de ocasiones, necesitamos convertir la función en una función a trozos . Teniendo como ejemplo general ...
Las matrices son una herramientas de las matemáticas, que nos permiten representar una serie de datos (como por ejemplo: listas, tablas...) de forma ordenada: DIMENSIONES DE UNA MATRIZ: Una matriz de $m \times n$ dimensiones, referida por $m$ filas y $n$ columnas, tiene la siguiente estructura: $\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ ABREVIACIÓN DE MATRICES: Usualmente, llamamos a una matriz con cualquier letra mayúscula, como por ejemplo $A$. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: Para 'destacar' un elemento de una matriz, solemos recurrir a la letra $a$, acompañada de un subíndice que indica la posición exacta del elemento en la matriz: $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} , \: \begin{matrix} a_{11}=2\\ a_{22}=0 \end{matrix}$ IGUALDAD DE MATRICES: Para igualar una matriz a otra, hemos de tener en cuenta dos factores: ...
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