A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

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El método es otro de los muchos iterativos usados para dar soluciones a ecuaciones no tan sencillas. Sabiendo derivar, usar el método de Newton-Raphson es muy fácil. Su enunciado dice:
$f(x)=0$
Sea $f(x)$ una función derivable en $\mathbb{R}$ que cumpla: $\exists \ \theta \in \mathbb{R} : f(\theta)=0$, tomaremos un valor aleatorio $x_0$, y formaremos una serie de términos $x_1 , x_2, x_3,... , x_n$ tal que:
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f \left ( x_n \right )}{f '\left ( x_n \right )} \quad , {f '\left ( x_n \right )} \neq 0$$
Siguiendo la "definición", podemos deducir fácilmente que mientras más aproximaciones hagamos, más exacta será la solución. Por tanto:
$$\theta \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}...\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad , {f '\left ( x_n \right )} \neq 0$$
Fuente:Wikipedia
Interpretación geométrica del método de Newton

Hagamos un ejemplo para entender mejor el método:
Calcular una solución aproximada a la ecuación: $\cos x=x$

No obstante, el método no solo nos sirve para calcular algún cero arbitrario de una función, sino incluso para calcular, de forma aproximada, alguna raíz cuadrada en cuestión. Por ejemplo, para calcular $\theta = \sqrt{3}$, sabemos que si consideramos la función $f(x)=x^2 -3$, $f(\theta)=0$. Lo que significa que si calculamos siguiendo el anterior procedimiento, las soluciones para $f(x)=0$, se aproximarán al valor de $\sqrt{3}$. Realizemos el cálculo.


Para concluir, y no darles paso al estrés en medio de un ejercicio, me veo obligado a definir las condiciones que debe cumplir un $x_0$, y así poder comenzar con las iteraciones.

Teorema de convergencia del método de Newton-Raphson
Buscando la solución respecto a una función $f(x)$ en un intervalo $[a,b]$, Todo punto $x_0$ debe cumplir:

  • $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ tiene clase $C^2, \forall x \in (a,b)$
  • $f'(x_0) \neq 0$
  • $f''(x_0) \neq 0$
  • Respecto al intervalo: $f(a) \cdot f(b) < 0$
*Una función tiene clase $C^n$, si consta de $f^{n)}$ continua.

EJERCICIO: Usar el método de Newton-Raphson para dar una solución aproximada a la ecuación $$e^{\ln (x)+3} \cdot \ln (x-\pi )=0$$
Este post, al igual que muchos otros: pretende servir de introducción a contenidos futuros, por lo que no he especificado en las utilidades sobre algoritmos y cosas complejas. Gracias por ver!


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