A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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VALOR ABSOLUTO

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El valor absoluto de un número, es el valor del mismo sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de $-3$ es $3$  $(|-3|=3)$ . De aquí, obtenemos la siguiente conclusión:
$$ \boldsymbol{Dado \ un \ valor \ x \longrightarrow \left | x \right |\geq 0}$$

 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO  
Simetría $|x|=|-x|$
'Definición positiva'$|0|=0$
'Valor absoluto y producto' $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$
'Desigualdad triangular' $|x+y| \leq |x|+|y|$
$|x| = \sqrt{x^2} $ Demostración
$|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ Demostración
$|a^n|=|a|^n$ Demostración
$|x|=a \Rightarrow x_1=a , x_2=-a$ Demostración
$|x|<n \Rightarrow -n<x<n$Demostración
$|x| \geq c \Rightarrow  -c \geq x, x \geq c $ Demostración

En la mayoría de ocasiones, necesitamos convertir la función en una función a trozos. Teniendo como ejemplo general , este se convertiría en la siguiente función:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} -x \quad x<0\\ x \quad x\geqslant 0 \end{matrix}\right.$


Resumiendo, para poder representar funciones con valor absoluto; en primer lugar hay que estudiar el signo de la función (sin valor absoluto), de forma que aplicaremos el valor absoluto en los intervalos en los que la función tenga 'imagen negativa'.

EJERCICIO
  1. Representa las siguientes funciones:
APLICACIONES DEL VALOR ABSOLUTO
  • Distancia: La distancia entre dos números: $a$ y $b$ $(a,b \in \mathbb{R})$, se expresa matemáticamente, como el valor absoluto de la diferencia entre ellos: $$d(a,b)=\left | b-a \right |$$
  • Errores: 
          ∐ Error Absoluto ⇒ $EA=|valor \ real - valor \ aproximado|$
          ∐ Error Relativo ⇒ Se usa para la comparación de números y/o magnitudes ⇒ $ER(\%)=\frac{EA}{|valor \ real|} \cdot 100$

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