A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

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Las ecuaciones trigonométricas, son aquellas que presentan la incógnita en una o varias razones trigonométricas. Antes de empezar, he de advertirles que se necesitará:

  • Una calculadora: haz clic aquí para descargar una calculadora digital, muy similar a la física (para ordenadores).
  • El glosario de trigonometría: el cual contiene la famosa tabla de razones trigonométricas y distintas relaciones que aplicaremos a lo largo del post (no es necesario aprendérselo para el examen). Haz clic aquí para descargarlo.

Teniendo esto a mano, empezemos a resolver ecuaciones básicas. Sin embargo, hay que dejar algo claro: Si existen soluciones a una ecuación trigonométrica, estas son infinitas, y nuestro objetivo siempre va a ser representar todas las soluciones posibles de una forma general... Veamos nuestro primer ejemplo:

$sen \ x=1$
Si queremos despejar x, hemos de utilizar el arcoseno. De esta manera:
$x= arcsen \ (1)$
$x_1=90^{\circ}$
Si representamos el ángulo de noventa grados en la circunferencia goniométrica, vemos que al menos en una primera vuelta, es el único ángulo que tiene por seno +1. No obstante, cada vez que demos una vuelta hacia delante o hacia atrás: obtendremos otro ángulo nuevo que sigue teniendo seno +1.
Por tanto, nuestra solución a la ecuación es $x=90°+360° k, k\in \mathbb{Z}$

Veamos otro ejemplo, para que nos quede más claro:

$\cos x= \frac{-1}{2}$
Despejando x:
$x=\arccos \left ( \frac{-1}{2} \right )=120°$
Tras obtener el resultado, representamos los 120° en la circunferencia, y notamos que exactamente el ángulo 240°, tiene el mismo coseno (recuerda que el coseno se mide en el eje de abscisas, y el seno en el de ordenadas)
Como no existe un ángulo $\alpha$, tal que 120º + $\alpha$ sea 240º, y 240º + $\alpha$ sea de nuevo 120º. Por tanto, la solución a la ecuación es: $x=\left\{\begin{matrix}120º + 360ºk \\ 240º+360ºk \end{matrix}\right. , k \in \mathbb{Z}$

En los casos en los que la incógnita se vea multiplicada por un número real, en la o las soluciones generales de la ecuación, se deberá dividir por ese mismo número. Veamos otro ejemplo:

$tg \ 3x= -1$
Tratamos a 3x, como lo hemos hecho anteriormente. El cambio realmente se hace al dar la o las soluciones a la ecuación:
$3x=arctg \ (-1)=-45°$
Representando los 45º en la circunferencia goniométrica, vemos que su tangente negativa coincide con la de 135º (recuerda que la tangente puede ser positiva en el I y III cuadrante, y negativa en el II y IV)

No obstante, si nos fijamos bien: el ángulo formado entre la tangente de ambos ángulos es de 180º. Lo que significa que podremos agrupar el conjunto de soluciones en una sola ecuación general:
$3x=135º+180ºk$
Pero nuestro objetivo es hallar x. Por ello hemos de dividir toda la ecuación general entre tres en este caso:
$x=45º+60ºk\ , k\in \mathbb{Z}$

Habiendo tenido esto claro, empezemos a dar solución a ecuaciones tipo examen. Empezemos con una sencilla:

$\mathrm{sen}\ x = \cos x$
En este caso, podemos obtener $\frac{\mathrm{sen}\ x}{\cos x}$, para así obtener $\mathrm{tg}\ x$. Por tanto, nos quedaría:
$\frac{\mathrm{sen}\ x}{\cos x}=1$
$\mathrm{tg}\ x=1$
Ahora sí, hemos obtenido una ecuación de la misma clase de las que resolvimos anteriormente. Finalmente, la solución es: $x=45º+180ºk, k\in \mathbb{Z}$

Siempre que tengamos un seno y un coseno (sin estar elevados al cuadrado) de una misma cosa igualados a cero, podemos dividir la ecuación entera entre el coseno de esa cosa para obtener tangente. Es lo que hemos aplicado para resolver la ecuación anterior...
Veamos otra algo similar:

$\mathrm{tg}\ x + 4\mathrm{cotg}\ x = 5$
Sabemos que $\mathrm{cotg}\ x$ es lo mismo que decir $\frac{1}{\mathrm{tg}\ x}$. De esta manera:
$\mathrm{tg}\ x + \frac{4}{\mathrm{tg}\ x} = 5$
Ahora simplemente nos queda resolver esta ecuación racional:
$\frac{\mathrm{tg^2}(x) +4}{\mathrm{tg}\ x}=\frac{5 \mathrm{tg}\ x}{\mathrm{tg}\ x}$
$\mathrm{tg^2}(x)-5\mathrm{tg}(x)+4=0$
Si bien nos damos cuenta de que estamos ante una ecuación de segundo grado, donde realmente la incógnita es $\mathrm{tg}(x)$, muy bien. No obstante, también podemos aplicar un cambio de variable. En mi caso, aplicaré directamente la fórmula cuadrática (primera opción):
$\mathrm{tg}(x)=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2} \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\mathrm{tg_1}\ x= 1\\\mathrm{tg_2}\ x= 4\end{matrix}\right. $
Ahora sí, tan sólo nos queda resolver tanto $\mathrm{tg}\ x= 1$, como $\mathrm{tg}\ x= 4$. Si lo hemos hecho bien la solución a la ecuación es: $\left\{\begin{matrix}x_1=45^{\circ}+180^{\circ}k\\x_2=75^{\circ} \: 57' \: 49.52'' + 180^{\circ}k\end{matrix}\right., k\in \mathbb{Z}$

Resolvamos una con ángulos dobles:

$8 \cos (2x)=8 \cos (x)-9$
Aplicando la fórmula del ángulo doble para cosenos:
$8\cdot (\cos ^2 x-\mathrm{sen}^2\ x)=8\cos (x) -9$
$8\cos ^2 x -8\mathrm{sen}^2\ x=8\cos (x) -9$
Usando el teorema fundamental de la trigonometría, deducimos que $\cos ^2 x=1-\mathrm{sen}^2\ x$. Nos acaba quedando:
$2\cos ^2 x-\cos x+\frac{1}{8}=0$
Y esto ya es una ecuación de segundo grado, que resolveré de forma directa:
$\cos x=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 2\cdot \frac{1}{8}}}{4}\longrightarrow \cos x=\frac{1}{4}$
Si resolvemos la ecuación que nos ha quedado, obtendremos que las soluciones exactas son:
$\left\{\begin{matrix}x_1=75^{\circ}\: 31' \: 20.96'' +360^{\circ}k\\x_2=284^{\circ} \: 28' \: 39'' + 360^{\circ}k\end{matrix}\right., k\in \mathbb{Z}$

Veamos un caso algo más fastidioso:

$\mathrm{sen}\ x+\cos x=\sqrt{2}$
Es fastidioso, porque solo podemos aplicar el teorema fundamental de la trigonometría, para obtener que $\cos x=\pm \sqrt{1-\mathrm{sen}^2 \ x}$:
$\mathrm{sen}\ x \pm \sqrt{1-\mathrm{sen}^2 \ x}=\sqrt{2}$
$\left ( \pm \sqrt{1-\mathrm{sen}^2 \ x} \right )^2=(\sqrt{2}- \mathrm{sen}\ x)^2$
$1-\mathrm{sen}^2 \ x=2-2\sqrt{2}\mathrm{sen} \ x + \mathrm{sen}^2 x$
$-2\mathrm{sen}^2 \ x +2\sqrt{2}\mathrm{sen} \ x-1=0$
$\mathrm{sen}^2 \ x - \sqrt{2}\mathrm{sen} \ x+\frac{1}{2}=0$
Nos ha quedado una ecuación de segundo grado:
$\mathrm{sen} \ x=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{2-4\cdot \frac{1}{2}}}{2} \longrightarrow \mathrm{sen} \ x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Finalmente, resolviendo la ecuación simple que nos ha quedado, tenemos que nuestra solución es:
$\left\{\begin{matrix}x_1=45^{\circ}+360^{\circ}k\\x_2=135^{\circ} +360^{\circ}k\end{matrix}\right., k\in \mathbb{Z}$

Finalmente, veamos un ejemplo para poder aplicar factor común:

$\mathrm{sen}^2\ x+\mathrm{tg}^2 \ x=0$
Aplicando que $\mathrm{tg}\ x = \frac{\mathrm{sen}\ x}{\cos x}$
$\mathrm{sen}^2\ x+\frac{\mathrm{sen}^2\ x}{\cos ^2 x}=0$
Ahora sí, podemos sacar factor común a $\mathrm{sen}^2\ x$
$\mathrm{sen}^2\ x \cdot (1+\frac{1}{\cos ^2 x})=0$
$\left\{\begin{matrix}\mathrm{sen}^2 \: x=0\\1+\frac{1}{\cos ^2 x}=0\end{matrix}\right.$
Resolviendo la primera ecuación, obtenemos que la solución general es $x=180^{\circ}k, k \in \mathbb{Z}$. No obstante, en la segunda ecuación obtenemos que $\cos ^2 x=-1$, lo que incumple las bases de los números reales.
Por ello, nuestra única solución será $x=180^{\circ}k, k \in \mathbb{Z}$

Ejercicio propuesto: Habiendo entendido ya todo el contenido de este post, resolver la ecuación trigonométrica:
$\mathrm{sen}^4 \ x-\cos^4 x=\frac{1}{2}$

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