A simple proof for Euler's formula

Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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Demostración: Inecuaciones, caso 01 (V.A.)

$|x|<n \Rightarrow -n<x<n$
Confirmaremos la regla, aplicando la regla de la simetría:
$$|x|=\pm x \Rightarrow \begin{matrix}
\boldsymbol{x< n} \quad (1)\\ -x< n \Rightarrow \boldsymbol{x
> -n} \quad (2)
\end{matrix}$$
Definitivamente, $x$ se corresponderá con la unión de ambos apartados: $1$ y $2$ respectivamente:
$x=1 \bigcup 2 \Rightarrow \boldsymbol{-n<x<n \equiv x \in (-n,n)} \tiny \blacksquare$

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