Para poder seguir aprendiendo contenidos sobre matrices, hemos de conocer y poder realizar una serie de operaciones básicas con ellas. Por ello, empezaremos por:
SUMA DE MATRICES
Para sumar dos matrices, hemos de sumar elemento a elemento. Por ello, solo se pueden sumar y restar, matrices de mismas dimensiones. \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A+a & B+b\\ C+c & D+d \end{pmatrix}
RESTA DE MATRICES
"Al igual" que para sumar matrices, hemos de restar elemento a elemento. \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-a & B-b\\ C-c & D-d \end{pmatrix}
PROPIEDADES
Conmutativa
A+B=B+A
Asociativa
A+(B+C)=(A+B)+C
*Elemento neutro
A+O=A \quad, \forall A
Donde O, es una matriz, con todos los coeficientes cero, de dimensiones m \times n
ACTIVIDAD
1-. Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}
1 &3 \\
4 & -2\\
5 & 0
\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 &1 \\
7 & -1
\end{pmatrix}, Hallar A+B y B-A
2-. Razona lógicamente, si es lo mismo A-B que B-A
PRODUCTO DE MATRICES
Para efectuar la operación, hemos de multiplicar dicho número (k) por cada elemento de la matriz, escribiendo el resultado en la posición de dicho elemento.
k \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \cdot a & k \cdot b\\ k \cdot c & k \cdot d \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}
PROPIEDADES
Distributiva
k \cdot(A+B)=k \cdot A+k \cdot B
(k+h) \cdot A = k \cdot A + h \cdot A
Asociativa
(k \cdot h) \cdot A = k \cdot (h \cdot A)
Hemos de multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda, respectivamente. Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo:
\begin{pmatrix} 4 & 5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 &1 \\ 0 & 1 & 0\\ 4 & 8 & 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 16+0+0 & 16+5+0 & 4+0+0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 21 & 4\\ \end{pmatrix}
Como podemos ver, las dimensiones de la matriz final, dependen directamente de las dimensiones de las matrices iniciales (factores), de manera que las dimensiones de la matriz final, serán: En primer lugar, el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda.
A_{m_1 \times n_1} \cdot A_{m_2 \times n_2} \Rightarrow B_{m_1 \times n_2}
Es importante aclarar, que solo se pueden multiplicar dos matrices que tengan el número de filas y columnas en común.
PROPIEDADES
Asociativa
A \cdot (B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C
k \cdot (A \cdot B)=(k \cdot A) \cdot B
Distributiva
A \cdot (B+C)=A \cdot B + A \cdot C
*Elemento neutro
A \cdot I_n=A \quad , \forall A
Donde I_n es la matriz identidad (ir al artículo)
*Incumplimiento de la regla conmutativa
Comentarios
Publicar un comentario