A simple proof for Euler's formula

Euler's formula: e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta Let f(\theta )=e^{i\theta} and g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta, considering i as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For \theta = 0,  we see that f(0) = g(0) = 1, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta) g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta) We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point P(0,1) belongs to f(\theta) and g(\theta) at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...

OPERACIONES CON MATRICES

Para poder seguir aprendiendo contenidos sobre matrices, hemos de conocer y poder realizar una serie de operaciones básicas con ellas. Por ello, empezaremos por:
SUMA DE MATRICES
Para sumar dos matrices, hemos de sumar elemento a elemento. Por ello, solo se pueden sumar y restar, matrices de mismas dimensiones. \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A+a & B+b\\ C+c & D+d \end{pmatrix}
RESTA DE MATRICES
"Al igual" que para sumar matrices, hemos de restar elemento a elemento. \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-a & B-b\\ C-c & D-d \end{pmatrix}
PROPIEDADES
Conmutativa
A+B=B+A
Asociativa
A+(B+C)=(A+B)+C
*Elemento neutro
A+O=A \quad, \forall A   
Donde O, es una matriz, con todos los coeficientes cero, de dimensiones m \times n

ACTIVIDAD
1-. Dadas las matrices A=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 4 & -2\\ 5 & 0 \end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 &1 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}, Hallar A+B y B-A
2-. Razona lógicamente, si es lo mismo A-B que B-A

PRODUCTO DE MATRICES
  •  Por un número real
Para efectuar la operación, hemos de multiplicar dicho número (k) por cada elemento de la matriz, escribiendo el resultado en la posición de dicho elemento.
k \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \cdot a & k \cdot b\\ k \cdot c & k \cdot d \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}
PROPIEDADES
Distributiva
k \cdot(A+B)=k \cdot A+k \cdot B
(k+h) \cdot A = k \cdot A + h \cdot A
Asociativa
(k \cdot h) \cdot A = k \cdot (h \cdot A)
  • Por otra matriz
Hemos de multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda, respectivamente. Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo:
\begin{pmatrix} 4 & 5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 &1 \\ 0 & 1 & 0\\ 4 & 8 & 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 16+0+0 & 16+5+0 & 4+0+0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 21 & 4\\ \end{pmatrix}
Como podemos ver, las dimensiones de la matriz final, dependen directamente de las dimensiones de las matrices iniciales (factores), de manera que las dimensiones de la matriz final, serán: En primer lugar, el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda.
 A_{m_1 \times n_1} \cdot A_{m_2 \times n_2} \Rightarrow B_{m_1 \times n_2}
Es importante aclarar, que solo se pueden multiplicar dos matrices que tengan el número de filas y columnas en común. 
PROPIEDADES
Asociativa
A \cdot (B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C
k \cdot (A \cdot B)=(k \cdot A) \cdot B
Distributiva
A \cdot (B+C)=A \cdot B + A \cdot C
 *Elemento neutro
A \cdot I_n=A \quad , \forall A
Donde I_n es la matriz identidad (ir al artículo)
*Incumplimiento de la regla conmutativa
A \cdot B \neq B \cdot A, (demostración)



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