A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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OPERACIONES CON MATRICES

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Para poder seguir aprendiendo contenidos sobre matrices, hemos de conocer y poder realizar una serie de operaciones básicas con ellas. Por ello, empezaremos por:
SUMA DE MATRICES
Para sumar dos matrices, hemos de sumar elemento a elemento. Por ello, solo se pueden sumar y restar, matrices de mismas dimensiones. $$\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
A+a & B+b\\
C+c & D+d
\end{pmatrix}$$
RESTA DE MATRICES
"Al igual" que para sumar matrices, hemos de restar elemento a elemento. $$\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
A-a & B-b\\
C-c & D-d
\end{pmatrix}$$
PROPIEDADES
Conmutativa
$A+B=B+A$
Asociativa
$A+(B+C)=(A+B)+C$
*Elemento neutro
$A+O=A \quad, \forall A$   
Donde $O$, es una matriz, con todos los coeficientes cero, de dimensiones $m \times n$

ACTIVIDAD
1-. Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 4 & -2\\ 5 & 0 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 &1 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$, Hallar $A+B$ y $B-A$
2-. Razona lógicamente, si es lo mismo $A-B$ que $B-A$

PRODUCTO DE MATRICES
  •  Por un número real
Para efectuar la operación, hemos de multiplicar dicho número ($k$) por cada elemento de la matriz, escribiendo el resultado en la posición de dicho elemento.
$$k \cdot \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k \cdot a & k \cdot b\\
k \cdot c & k \cdot d
\end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}$$
PROPIEDADES
Distributiva
$k \cdot(A+B)=k \cdot A+k \cdot B$
$(k+h) \cdot A = k \cdot A + h \cdot A$
Asociativa
$(k \cdot h) \cdot A = k \cdot (h \cdot A)$
  • Por otra matriz
Hemos de multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda, respectivamente. Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo:
$$\begin{pmatrix}
4 & 5 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
4 & 4 &1 \\
0 & 1 & 0\\
4 & 8 & 6
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
16+0+0 & 16+5+0 & 4+0+0\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
16 & 21 & 4\\
\end{pmatrix}$$
Como podemos ver, las dimensiones de la matriz final, dependen directamente de las dimensiones de las matrices iniciales (factores), de manera que las dimensiones de la matriz final, serán: En primer lugar, el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda.
 $A_{m_1 \times n_1} \cdot A_{m_2 \times n_2} \Rightarrow B_{m_1 \times n_2}$
Es importante aclarar, que solo se pueden multiplicar dos matrices que tengan el número de filas y columnas en común. 
PROPIEDADES
Asociativa
$A \cdot (B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C$
$k \cdot (A \cdot B)=(k \cdot A) \cdot B$
Distributiva
$A \cdot (B+C)=A \cdot B + A \cdot C$
 *Elemento neutro
$A \cdot I_n=A \quad , \forall A$
Donde $I_n$ es la matriz identidad (ir al artículo)
*Incumplimiento de la regla conmutativa
$A \cdot B \neq B \cdot A$, (demostración)



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