A simple proof for Euler's formula

Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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Matriz adjunta

Denominamos matriz adjunta de una matriz $A$, a aquella formada por los cofactores de cada uno de los elementos de A:
$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} ,  $ adj$(A)=\begin{pmatrix}
A_{11} & -A_{12} & A_{13}\\
-A_{21} & A_{22} & -A_{23}\\
A_{31} & -A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}$
¿Pero..., a qué me refiero exactamente con cofactor?. Simple; el cofactor de un elemento $a_{mn}$ es el determinante formado por los elementos de $A$ que no están presentes en la fila $m$, ni en la columna $n$. De esta manera, llegamos a la siguiente conclusión:


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VALOR ABSOLUTO

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El valor absoluto de un número, es el valor del mismo sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de $-3$  es $3$  $(|-3|=3)$   . De aquí, obtenemos la siguiente conclusión: $$ \boldsymbol{Dado \ un \ valor \ x \longrightarrow \left | x \right |\geq 0}$$  PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO   Simetría $|x|=|-x|$ 'Definición positiva' $|0|=0$ 'Valor absoluto y producto' $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$ 'Desigualdad triangular' $|x+y| \leq |x|+|y|$ $|x| = \sqrt{x^2} $ Demostración $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ Demostración $|a^n|=|a|^n$ Demostración $|x|=a \Rightarrow x_1=a , x_2=-a$ Demostración $|x|<n \Rightarrow -n<x<n$ Demostración $|x| \geq c \Rightarrow  -c \geq x, x \geq c $ Demostración En la mayoría de ocasiones, necesitamos convertir la función en una función a trozos . Teniendo como ejemplo general ...
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POLINOMIO DE TAYLOR

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El polinomio de Taylor , es una herramienta usada en el campo de aproximación de funciones , que nos permite expresar cualquier tipo de función, de una forma polinómica particularmente aproximada . Su uso, al menos en un sentido, es para evaluar funciones de forma aproximada. Sin más dilación, comenzemos a introducir el tema: Considerando una función $f$, siendo aproximada en torno a un punto $a \in Dom(f)$: El polinomio de Taylor de grado "$n$" denotado por $P_{n,a}$ se expresará como:  $\mathbf{P_{n,a}=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3... \frac{f^{n)}(a)}{n!}(x-a)^n}$ O más brevemente como: $P_{n,a}=\sum _{i=0}^{n} \frac{f^{i)}(a)}{i!}(x-a)^i$ NOTA: En el anterior apunte, se entiende que trabajamos con una función de indefinida cantidad de derivadas. Por lo que la aproximación de Taylor, en casos distintos, simplemente acabaría en el grado en el que tenemos una constante en el numerador. ...
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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

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El método es otro de los muchos iterativos usados para dar soluciones a ecuaciones no tan sencillas. Sabiendo derivar, usar el método de Newton-Raphson es muy fácil. Su enunciado dice: $f(x)=0$ Sea $f(x)$ una función derivable en $\mathbb{R}$ que cumpla: $\exists \ \theta \in \mathbb{R} : f(\theta)=0$, tomaremos un valor aleatorio $x_0$, y formaremos una serie de términos $x_1 , x_2, x_3,... , x_n$ tal que: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f \left ( x_n \right )}{f '\left ( x_n \right )} \quad , {f '\left ( x_n \right )} \neq 0$$ Siguiendo la "definición", podemos deducir fácilmente que mientras más aproximaciones hagamos, más exacta será la solución. Por tanto: $$\theta \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}...\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad , {f '\left ( x_n \right )} \neq 0$$ Fuente:Wikipedia Interpretación geométrica del método de Newton Hagamos un ejemplo para entender mejor el método: Calcular una solución aproxi...
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