A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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DETERMINANTES

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Un determinante, es un valor numérico que se da a una matriz; sin embargo, no todas las matrices tienen un determinante asociado, sino que esta ha de ser una matriz cuadrada. El determinante de una matriz $A$, se escribirá como $|A|$ o $\det (A)$

CÁLCULO DE DETERMINANTES
En primer lugar, empezaremos aprendiendo a cálcular todo tipo de determinantes
  • De orden 2: Dada una matriz $A= \begin{pmatrix}
    a & b\\
    c & d
    \end{pmatrix}$
Se cumplirá que $|A|=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = d \cdot a - c \cdot b$
  • De orden 3: Dada una matriz $A=\begin{pmatrix}
    a & b & c\\
    d & e & f\\
    g & h & i
    \end{pmatrix}$
Se cumplirá que $|A|=\begin{vmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}
e & f\\
h & i
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
d & f\\
g & i
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
d & e\\
g & h
\end{vmatrix}$
⇾ REGLA DE SARRUS: Esta regla, es sólo aplicable para determinantes de orden 3. La regla es muy práctica, y puede recordarse observando la siguiente figura:
También se puede recurrir a otro método, que consiste duplicar las dos primeras filas y aplicar las operaciones, pero esta vez en forma de diagonal principal (signo positivo) y diagonal secundaria (signo negativo):
  • De orden $n$
Recurriremos a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna, con su matriz adjunta correspondiente. Por ejemplo:
 $\begin{vmatrix}
4 & 3 & 1 & 0\\
3 & 4 & 0 & 0\\
4 & 1 & 4 & 2\\
6 & 3 & 0 & 1
\end{vmatrix}=4 \cdot \begin{vmatrix}
4 & 0 & 0\\
1 & 4 & 2\\
3 & 0 & 1
\end{vmatrix}-3\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 & 0\\
 4& 4 & 2\\
 6& 0 & 1
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
3 & 4 & 0 \\
4 & 1 & 2 \\
6 & 3 & 1
\end{vmatrix}$, siendo desarrollado por la primera fila.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
  • El determinante de una matriz, es igual siempre al de su traspuesta:
$|A|=|A^t|$
  • Permutar una fila o columna a una matriz, cambia de signo al determinante.
  • Si un determinante, tiene dos o más filas que dependen linealmente entre sí, el determinante valdrá cero. 
  • Si multiplicamos un número real y un determinante, el último queda multiplicado por dicho número en cualquier fila (o columna), pero sólo una.
$k \cdot \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
k\cdot a & k\cdot b\\
c & d
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & b\\
k\cdot c & k\cdot d
\end{vmatrix}$
  • Si una fila o una columna es una suma, el determinante podrá reemplazarse como una suma de determinantes:
$\begin{vmatrix}
a & a+c\\
b & b+c
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
a & a\\
b & b
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & c\\
b & c
\end{vmatrix}$
  • Es posible aplicar el método de Gauss en un determinante, dado que el mismo no cambia de valor. Esta propiedad será fundamental para ahorrar el tener que hacer muchos cálculos a la hora de calcular un determinante de un orden inusualmente mayor...
APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES
Entre las aplicaciones de los determinantes, se destacan:
  • Fórmulas de Cramer: Usadas para resolver un sistema con un determinado número de ecuaciones e incógnitas (el número de ecuaciones e incógnitas ha de coincidir):
$\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2=b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2=b_2
\end{matrix}\right. \quad, x_1= \frac{\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}} , x_2=\frac{\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1\\
a_{21} & b_2
\end{vmatrix}}{{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}}$
Fórmula de Cramer, para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
  • Cálculo de la matriz inversa: Para "acelerar" el proceso de cálculo de una matriz inversa, se usa la siguiente fórmula:
$A^{-1}=\frac{\left[ adj (A) \right]^t}{\mid A \mid} , |A| \neq 0$
  • Teorema de Rouché: Se usa para discutir sistemas de ecuaciones con parámetros. Establece que, para que un sistema sea compatible, el rango de la matriz de los coeficientes ($A$), ha de ser igual al rango de la matriz ampliada ($A^*$)...
$\left\{\begin{matrix}
R(A)=R(A^*)=n_{inc} \Rightarrow S.C.D\\ R(A)=R(A^*) \neq n_{inc} \Rightarrow S.C.I
\\ R(A) \neq R(A^*) \Rightarrow S.I
\end{matrix}\right.$

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