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El método es otro de los muchos iterativos usados para dar soluciones a ecuaciones no tan sencillas. Sabiendo derivar, usar el método de Newton-Raphson es muy fácil. Su enunciado dice: $f(x)=0$ Sea $f(x)$ una función derivable en $\mathbb{R}$ que cumpla: $\exists \ \theta \in \mathbb{R} : f(\theta)=0$, tomaremos un valor aleatorio $x_0$, y formaremos una serie de términos $x_1 , x_2, x_3,... , x_n$ tal que: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f \left ( x_n \right )}{f '\left ( x_n \right )} \quad , {f '\left ( x_n \right )} \neq 0$$ Siguiendo la "definición", podemos deducir fácilmente que mientras más aproximaciones hagamos, más exacta será la solución. Por tanto: $$\theta \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}...\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad , {f '\left ( x_n \right )} \neq 0$$ Fuente:Wikipedia Interpretación geométrica del método de Newton Hagamos un ejemplo para entender mejor el método: Calcular una solución aproxi...

Estamos por introducirnos a unas de las herramientas más poderosas y útiles en el cálculo infinitesimal: límites . Nos sirven para analizar el comportamiento de una función o incluso determinar el caracter de series numéricas. Comenzemos definiendo el concepto informalmente: Definición informal: Dada una función $f(x)$, su límite en el punto $x=\theta$, estando el dominio de la función definido al menos en entornos reducidos ($ E_r(\theta) , r \rightarrow 0 $) al punto, será el valor al que tienden las imágenes de dichos entornos. Gráficamente:  Interpretación gráfica animada de un límite Por ejemplo: $$L=\lim _{x\rightarrow 3} x^2+1=10$$ Dado que en entornos reducidos al punto, las imágenes tienden a ser $y=10$, tanto por la izquierda como por la derecha. Basándonos en lo anterior, podemos deducir que un límite existe realmente si los límites laterales (es decir, de entornos reducidos) coinciden: $$\exists \lim _{x\rightarrow a} f(x) \Leftrightarrow \lim _{x\...

El polinomio de Taylor , es una herramienta usada en el campo de aproximación de funciones , que nos permite expresar cualquier tipo de función, de una forma polinómica particularmente aproximada . Su uso, al menos en un sentido, es para evaluar funciones de forma aproximada. Sin más dilación, comenzemos a introducir el tema: Considerando una función $f$, siendo aproximada en torno a un punto $a \in Dom(f)$: El polinomio de Taylor de grado "$n$" denotado por $P_{n,a}$ se expresará como:  $\mathbf{P_{n,a}=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3... \frac{f^{n)}(a)}{n!}(x-a)^n}$ O más brevemente como: $P_{n,a}=\sum _{i=0}^{n} \frac{f^{i)}(a)}{i!}(x-a)^i$ NOTA: En el anterior apunte, se entiende que trabajamos con una función de indefinida cantidad de derivadas. Por lo que la aproximación de Taylor, en casos distintos, simplemente acabaría en el grado en el que tenemos una constante en el numerador. ...

Las ecuaciones trigonométricas , son aquellas que presentan la incógnita en una o varias razones trigonométricas. Antes de empezar, he de advertirles que se necesitará: Una calculadora: haz clic aquí para descargar una calculadora digital, muy similar a la física (para ordenadores). El glosario de trigonometría: el cual contiene la famosa tabla de razones trigonométricas y distintas relaciones que aplicaremos a lo largo del post (no es necesario aprendérselo para el examen). Haz clic aquí para descargarlo. Teniendo esto a mano, empezemos a resolver ecuaciones básicas. Sin embargo, hay que dejar algo claro: Si existen soluciones a una ecuación trigonométrica, estas son infinitas, y nuestro objetivo siempre va a ser representar todas las soluciones posibles de una forma general... Veamos nuestro primer ejemplo: $sen \ x=1$ Si queremos despejar x , hemos de utilizar el arcoseno. De esta manera: $x= arcsen \ (1)$ $x_1=90^{\circ}$ Si representamos el ángulo de novent...

En las ecuaciones exponenciales , la incógnita se presenta en los exponentes: $$a^{\alpha x+n_1} + b^{\alpha _2 x+n_2}...=c^{\alpha _3 x+n_3} + d^{\alpha _4 +n_4} \ \ ; a,b,c,d... \in \mathbb{R}$$ Para resolver este tipo de ecuaciones, podemos seguir varios procesos, en función de la estructura que esta tenga. Es mejor que veamos un ejemplo: $2^{x+2}=16$ En este tipo de casos, simplemente hemos de buscar la forma de expresar en este caso 16, en una potencia de base 2. Sabiendo que $16=2^4$: $2^{x+2}=2^4$ Ahora que tenemos las bases iguales, es hora de igualar los exponentes $x+2=4; x=2$ *Comprobamos la solución: $2^{2+2}=16 ; 2^4=16 ; 16=16$ ✓ Por tanto, la solución es $x=2$ Es importante saber que, si hemos seguido un procedimiento adecuado y no nos hemos equivocado en nada, la solución ha de ser correcta. Dicho de otra manera, en este tipo de ecuaciones no hay parámetros en las soluciones, y por tanto nunca tendremos que descartar alguna solución. Habiendo...

En las ecuaciones logarítmicas, la incógnita x aparece dentro de uno o varios logaritmos. Para resolverlas, recurriremos al concepto de logaritmo y sus propiedades, los cuales puedes ver aquí... Nuestro principal objetivo, va a ser obtener la igualdad entre dos logaritmos de una misma base. Para proceder después a eliminar los logaritmos: $\log_ab=\log_ac \Leftrightarrow a=b$ Conociendo ya nuestro objetivo, veamos un ejemplo $\log (x) + 4=6$ En primer lugar, dejamos el logaritmo solo: $\log (x)=2$ Posteriormente, aplicamos la propiedad de logaritmos que afirma: $n=\log_a a^n$ (en este caso, nos interesa un logaritmo de base diez) $\log (x)=\log 10^2$ Ahora si, podemos pasar a eliminar los logaritmos... Nos queda: $x=10^2 \Rightarrow \mathbf{x=100}$ Comprobamos la solución: $\log (100) + 4=6 \rightarrow 6=6$ ✓ Por tanto, la solución es $x=100$ Veamos un ejemplo más sencillo y directo: $\log_4 (x^2)=\log_4 9$ Como tenemos dos logaritmos de una misma b...