A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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ECUACIONES LOGARITMICAS

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En las ecuaciones logarítmicas, la incógnita x aparece dentro de uno o varios logaritmos. Para resolverlas, recurriremos al concepto de logaritmo y sus propiedades, los cuales puedes ver aquí...
Nuestro principal objetivo, va a ser obtener la igualdad entre dos logaritmos de una misma base. Para proceder después a eliminar los logaritmos:
$\log_ab=\log_ac \Leftrightarrow a=b$

Conociendo ya nuestro objetivo, veamos un ejemplo
$\log (x) + 4=6$
En primer lugar, dejamos el logaritmo solo:
$\log (x)=2$
Posteriormente, aplicamos la propiedad de logaritmos que afirma: $n=\log_a a^n$ (en este caso, nos interesa un logaritmo de base diez)
$\log (x)=\log 10^2$
Ahora si, podemos pasar a eliminar los logaritmos... Nos queda:
$x=10^2 \Rightarrow \mathbf{x=100}$
Comprobamos la solución:
$\log (100) + 4=6 \rightarrow 6=6$ ✓
Por tanto, la solución es $x=100$
Veamos un ejemplo más sencillo y directo:
$\log_4 (x^2)=\log_4 9$
Como tenemos dos logaritmos de una misma base igualados de forma directa, podemos igualar simplemente sus argumentos:
$x^2=9$
$x=\pm \sqrt{9} \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
x_1=3\\x_2=-3
\end{matrix}\right.$
Ahora solo nos queda comprobar la solución
$x=\pm 3 \Rightarrow \log_4 ((\pm 3)^2)=\log_4 9$
$\log_4 9=\log_4 9$ ✓
Por tanto, las soluciones son $x_1=3, x_2=-3$ 
Ya hemos visto algunos ejemplos para hacer ejercicios clásicos y comunes. Sin embargo, existen ocasiones en las que no podremos recurrir a las propiedades de logaritmos para resolver la ecuación. Resolvamos otra ecuación nada más:
$\log x=\frac{2-\log x}{\log x}$
En primer lugar, pasamos $\log x$ del denominador del segundo miembro. Nos queda:
$(\log x)^2=2-\log x$
Vemos que tenemos un logaritmo entero al cuadrado. Sabemos que no existe ninguna propiedad asociada a este caso. Por ello, solo nos queda aplicar un cambio de variable:
$\log x=t \Rightarrow t^2+t-2=0$
Resolviendo la ecuación, nos queda que las soluciones son: $(t_1,t_2)=(1,-2)$. Ahora solo tenemos que usar estos resultados para deshacer el cambio de variable, y hallar así las soluciones definitivas a la ecuación:
Para $t=1 \Rightarrow \log x = 1 \overset{Def}{\rightarrow}10=x$
Para $t=-2 \Rightarrow \log x = -2 \overset{Def}{\rightarrow}10^{-2}=x $
Comprobemos estas soluciones:
(a) $x=10 \rightarrow \log 10 = \frac{2-\log 10}{\log 10}$
Sabemos que $\log_a a= 1$, por tanto: $1=\frac{2-1}{1}; 1=1$✓

(b) $x=10^{-2} \rightarrow \log (10^{-2})=\frac{2-\log (10^{-2})}{\log (10^{-2})}$
Aplicando que $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$, y la propiedad del apartado anterior:
$-2=\frac{4}{-2}; -2=-2$ ✓

Concluimos con que las soluciones son $x_1=10, x_2=10^{-2}$

EJERCICIOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

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