A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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ECUACIONES EXPONENCIALES

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En las ecuaciones exponenciales, la incógnita se presenta en los exponentes: $$a^{\alpha x+n_1} + b^{\alpha _2 x+n_2}...=c^{\alpha _3 x+n_3} + d^{\alpha _4 +n_4} \ \ ; a,b,c,d... \in \mathbb{R}$$ Para resolver este tipo de ecuaciones, podemos seguir varios procesos, en función de la estructura que esta tenga. Es mejor que veamos un ejemplo:

$2^{x+2}=16$
En este tipo de casos, simplemente hemos de buscar la forma de expresar en este caso 16, en una potencia de base 2. Sabiendo que $16=2^4$:
$2^{x+2}=2^4$
Ahora que tenemos las bases iguales, es hora de igualar los exponentes
$x+2=4; x=2$
*Comprobamos la solución:
$2^{2+2}=16 ; 2^4=16 ; 16=16$ ✓
Por tanto, la solución es $x=2$

Es importante saber que, si hemos seguido un procedimiento adecuado y no nos hemos equivocado en nada, la solución ha de ser correcta. Dicho de otra manera, en este tipo de ecuaciones no hay parámetros en las soluciones, y por tanto nunca tendremos que descartar alguna solución.

Habiendo aclarado esto, veamos un ejemplo del mismo estilo, pero algo más complejo:

$\sqrt[2-x]{25^{\frac{2x+1}{2}}}=\frac{1}{5}$
En primer lugar, expresamos el primer miembro de la ecuación, en forma de potencia ($\sqrt[a]{x^b}=x^{b/a}$)
$25^{\frac{\frac{2x+1}{2}}{2-x}}=\frac{1}{5}$
$25^{\frac{2x+1}{4-2x}}=\frac{1}{5}$
Ya que tenemos los exponentes "simplificados", es hora de expresar $25$ como $5^2$, y $\frac{1}{5}$ como $5^{-1}$
$5^{\frac{4x+2}{4-2x}}=5^{-1}$
Nos damos cuenta de que, podemos igualar los exponentes, dado que las bases de las potencias: son las mismas
$\frac{4x+2}{4-2x}=-1$
 $4x+2=2x-4$
$x=-3$
Por tanto, la solución a la ecuación es $x=-3$

Ahora si, procedamos a ver un ejemplo muy común que incluye más propiedades de potencias aún:

$2^{x+1}+5\cdot 2^x=28$
Nuestro objetivo principal en este tipo de ecuaciones exponenciales, es sacar factor común a un solo número, con la incógnita en el exponente. Para poder hacerlo, recordemos la propiedad de potencias que decía: $x^{n+m}=x^n \cdot x^m$. Por tanto:
$2^x \cdot 2 + 5\cdot 2^x=28$
Sacando factor común: $2^x(2+5)=28$
Ya habiendo sacado factor común, podemos proceder a despejar $2^x$
$2^x=4$
Finalmente, concluimos que nuestro resultado a la ecuación es $x=2$

Sin embargo, no a todas las ecuaciones se les puede aplicar este método: Dado que no siempre podremos sacar factor común y aislar la incógnita afuera. Esto pasará siempre que la incógnita resulte estar multiplicada por un número en el exponente... En este tipo de casos, lo mejor que podemos hacer es un cambio de variable. Veamos otro ejemplo:

$2^{3x-1}+4^{2x-2}=8^x$
Usando propiedades de potencias, obteniendo así:
$\frac{2^{3x}}{2}+\frac{4^{2x}}{4^2}=8^x$
$\frac{(2^x)^3}{2}+\frac{(2^x)^4}{16}=(2^x)^3$
Ahora sí, es el momento de aplicar un cambio de variable. En mi caso: $t=2^x$. Nos queda:
$\frac{t^3}{2}+\frac{t^4}{16}=t^3$
Desarrollando (haciendo mínimo común múltiplo de los denominadores, para posteriormente despejar), nos acaba resultando la siguiente ecuación:
$t^4-8t^3=0$
$t^3(t-8)=0 \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}t_{1,2,3}=0\\t_4=8 \end{matrix}\right.$
Finalmente, es hora de deshacer el cambio de variable que habíamos aplicado: Para $t=0$, se ha de cumplir que $2^x=0$, cosa que es realmente imposible $(a^n\neq 0, a\neq 0)$. Sin embargo, para $t=8$, se ha de cumplir que: $2^x=8$, que a simple vista: sabemos que $x=3$

Por tanto, nuestra única solución será $x=3$

No obstante, si tenemos una ecuación exponencial con la incógnita multiplicada por un número negativo, hemos de calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores para así eliminar las potencias negativas... Ahí va un ejercicio:

$e^x-5e^{-x}+4e^{-3x}=0$
Siempre al principio, independientemente de lo que tengamos en los exponentes, es recomendable aplicar propiedades de potencias. Veamos lo que nos queda:
$e^x-\frac{5}{e^x}+\frac{4}{e^{3x}}=0$
$e^x-\frac{5}{e^x}+\frac{4}{(e^x)^3}=0$
Teniendo esto, podemos empezar aplicando ya el cambio de variable y eliminando los denominadores del primer miembro; o al revés... En mi lugar, aplicaré el primer método:
$t=e^x \Rightarrow t-\frac{5}{t}+\frac{4}{t^3}=0$
mcm($t,t^3$)=$t^3 \longrightarrow \frac{t^4-5t^2+4}{t^3}=0$
Siguiendo los pasos, hemos conseguido llegar a una ecuación bicuadrada que obviamente sabemos resolver :). Aplicando que $t^2= \theta$
$\theta ^2 -5\theta +4=0$
$\theta =\frac{5 \pm \sqrt{25-4\cdot 4}}{2} \rightarrow \left\{\begin{matrix}\theta_1=4\\\theta_2=1\end{matrix}\right.$
Deshaciendo el cambio de variable $t^2= \theta$, tenemos:
$\left\{\begin{matrix}t^2=4\\t^2=1\end{matrix}\right. \Longrightarrow (t_1,t_2,t_3,t_4)=(2,-2,1,-1)$
No obstante, nuestra intención siempre es hallar $x$ (generalmente, si esta se presenta como la incógnita). Por tanto, también hemos de deshacer el cambio de variable $t=e^x$:
$\left\{\begin{matrix}e^x=2 \xrightarrow[]{log_a b =x \ \Leftrightarrow \ a^x=b} x=\ln 2\\e^x=-2 \longrightarrow x \notin \mathbb{R} \because \nexists \ln (-2)\\e^x=1 \longrightarrow x=0\\ e^x=-1 \rightarrow \left\{\begin{matrix}x \notin \mathbb{R} \because \nexists \ln (-1)\\ \xrightarrow[]{I. Euler} \ln(e^{\pi i})=\pi i\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$ (me enrrollé :v)
Concluimos finalmente, con que nuestras soluciones reales a la ecuación son $x_1=\ln 2$ y $x_2=0$.

EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

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