A simple proof for Euler's formula

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RACIONALIZACIÓN de Radicales

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En este post, veremos como racionalizar cualquier tipo de expresión. La racionalización de radicales, se basa en que... de alguna manera, podamos eliminar todos los radicales existentes en el denominador de una fracción.
Por ejemplo, para $\frac{2}{\sqrt{5}}$; ha de existir una expresión equivalente, que no tenga raíces en el denominador. Teniendo este concepto claro, veamos los casos con los que nos podemos encontrar:
  • CASO 1: Raíz cuadrada en el denominador
En el anterior caso, vimos una fracción con una raíz cuadrada en el denominador: $\frac{2}{\sqrt{5}}$. Lo único que tenemos que hacer, es multiplicar por la raíz en sí formando una fracción unitaria. Es decir:


  • CASO 2: Raíz de otro índice en el denominador
Si tenemos que racionalizar una expresión, con un radical en el denominador de índice distinto de dos; haremos el proceso el número de veces que indique el índice, menos uno. Para explicarlo mejor, veamos un ejemplo:
$\frac{3}{\sqrt[4]{2}}$
El índice de la raíz es cuatro, por tanto: hemos de multiplicar por la fracción unitaria tres veces:

  • CASO 3: Suma o resta de radicales en el denominador
La cosa se "complica", si tenemos una suma (o resta) de radicales en el denominador. Por ejemplo:
$\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
Vemos que... si aplicamos y tratamos a la expresión como antes, tendríamos que efectuar el cuadrado de una suma: lo que conllevaría a que la raíz "perviva" tras calcular $\pm \ 2ab$...
Sin embargo, si echamos un vistazo a las identidades notables, existe una preciosa (:v) fórmula que dice: $(a-b)^2=a^2-b^2$. Pues es exactamente esa identidad la que usaremos:

*$\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
En primer lugar, hallamos el conjugado de la suma que aparece en el denominador. Posteriormente, solo habrá que aplicar la identidad notable:


 Ejercicio: Racionalizar → $\frac{2}{\sqrt[4]{4}+\sqrt{2}}$ ( ͡° ͜ʖ ͡°) Ver solución

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