A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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Números reales

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En este artículo, veremos y repasaremos los distintos conjuntos numéricos básicos:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • Números naturales: Se representa por la letra $\mathbb{N}$, son aquellos que sirven para contar. Resultan de sumar indefinidamente unos al uno. De esta manera:
$\mathbb{N} = \{ 1,2,3,... \}$
  • Números enteros: Sirven para expresar pérdidas, en... por ejemplo: bancos, una empresa... Se representa por la letra $\mathbb{Z}$, y se obtiene añadiendo el cero y el conjunto opuesto a $\mathbb{N}$:
$\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
  • Números racionales: El conjunto de números racionales, representado por la letra $\mathbb{Q}$, son los números que pueden ser expresados como fracciones. Los resultados de estas fracciones han de resultar exactos o periódicos (periódicos puros y mixtos)... Por ejemplo:
$2=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{50}{25}$
$0'3333...=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{6}{18}$
Teniendo esto ya en cuenta, podemos afirmar que:
$\mathbb{Q}=\{ \frac{a}{b}; a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{N}, b \neq 0 \}$
  • Números irracionales: Sin embargo, no todos los números cumplen con la estructura de un número decimal exacto o periódico. Por ejemplo, $\pi$, no se puede incluir en el conjunto de números racionales, dado que sus decimales, no siguen ninguna aparente sucesión... Por tanto, a este tipo de números los llamaremos irracionales:
$\mathbb{I}=\mathbb{R}-\mathbb{Q}$
*Algunos otros ejemplos de números irracionales:
1.   $e=\lim_{n\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n =2' 718...$
2.   $\sqrt{2}=1'414...$
3.   $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1'618...$
4.   $\int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{-x} \  dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0' 886...$
  • Números reales: Se denota por $\mathbb{R}$. Se corresponde con la unión, de todos los conjuntos anteriores:
$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

→ Observa que $\mathbb{I}$, no contiene a $\mathbb{Q}$ ←
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \notin \mathbb{I}$


← Artículo anterior (Inversa de matrices)


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El valor absoluto de un número, es el valor del mismo sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de $-3$  es $3$  $(|-3|=3)$   . De aquí, obtenemos la siguiente conclusión: $$ \boldsymbol{Dado \ un \ valor \ x \longrightarrow \left | x \right |\geq 0}$$  PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO   Simetría $|x|=|-x|$ 'Definición positiva' $|0|=0$ 'Valor absoluto y producto' $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$ 'Desigualdad triangular' $|x+y| \leq |x|+|y|$ $|x| = \sqrt{x^2} $ Demostración $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ Demostración $|a^n|=|a|^n$ Demostración $|x|=a \Rightarrow x_1=a , x_2=-a$ Demostración $|x|<n \Rightarrow -n<x<n$ Demostración $|x| \geq c \Rightarrow  -c \geq x, x \geq c $ Demostración En la mayoría de ocasiones, necesitamos convertir la función en una función a trozos . Teniendo como ejemplo general ...
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