A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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INTERVALOS

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Sabemos que las ecuaciones solo tienen una o varias soluciones determinadas, dependiendo del grado de las mismas... Pero, ¿Y las inecuaciones?. Bien, pues es importante saber que la manera más eficaz de expresar la solución a una inecuación, son los intervalos. En este post, repasaremos algunos conocimientos básicos sobre ellos:

FORMAS DE REPRESENTAR UN INTERVALO
Además de la clásica forma de intervalo (Por ejemplo: $\left ( a,b \right ]$), existen cuatro formas aparte de la anterior: Como conjunto, representándolo graficamente, simplemente explicando su significado, o como valor absoluto (no especificaremos sobre esta última). Repasemos esto más profundamente:

 Intervalo  Como conjunto     Representación gráfica     Significado  
$\left ( a,b \right )$ $\left \{ x\in\mathbb{R} /b>x>a \right \}$
Los números reales entre a y b, sin incluirlos.
$\left [ a,b \right ]$ $\left \{ x\in\mathbb{R} /b\geq x\geq a \right \}$
Los números reales entre a y b, incluyéndolos.
$\left ( a,b \right ]$ $\left \{ x\in\mathbb{R} /b\geq x > a \right \}$
Los números reales entre a y b, sin incluir el primero de ellos.
$\left [ a,b \right )$ $\left \{ x \in \mathbb{R} / b>x\geq a \right \}$
Los números reales entre a y b, sin incluir el segundo de ellos.
$\left ( -\infty,b \right ]$ $\left \{ x \in \mathbb{R} / b\leq x \right \}$
Los números reales menores o iguales que b
$\left ( a,+\infty \right )$ $\left \{ x \in \mathbb{R} / x >a \right \}$
Los números reales mayores que a
  · Si por casualidad vemos corchetes mirando hacia afuera (Por ejemplo: $\left ] a,b \right ]$), será lo mismo que escribir paréntesis. Por ejemplo, el intervalo $\left [ 5, +\infty \right [$ , es igual al intervalo $\left [5,+\infty \right )$
· Incluir un $\pm \infty$ en un intervalo con un corchete, es una burrada, dado que el corchete indicaría que x (por ejemplo) puede ser $\pm \infty$. En resumidas cuentas: no se puede alcanzar el infinito...
Hagamos un ejercicio:
Convertir los siguientes enunciados en intervalos
1-. $\left \{ x \in \mathbb{R} / 7>x\geq 2 \right \}$
Sabemos que esto significa que x es mayor o igual que 2, pero también es menor estrictamente que 7. Así que, nuestro intervalo es: $\left [ 2,7 \right )$
2-. Números reales mayores o iguales que -5
Importante razonar que el intervalo ha de incluir el -5. Teniendo esto en cuenta, nuestro intervalo es el siguiente: $\left [ -5,+\infty \right )$
  
UNIÓN DE INTERVALOS
Vamos a suponer que tenemos un intervalo A y otro B. Bien, pues la unión de ambos (denotada por $A \cup B$), y resultará ser otro intervalo, que incluya a ambos. Gráficamente:
Veamos un ejemplo:
Dados los intervalos: $A=(3,+\infty)$ y $B=(-6,9]$: Hallar el conjunto de unión $(A \cup B)$ entre ambos, expresandolo como intervalo.
En mi opinión, lo mejor que se puede hacer en un ejercicio de este tipo es, en primer lugar: representar ambos conjuntos en la recta real. Teniendo en cuenta que la unión de ambos intervalos ha de incluir a A y a B por igual, se puede deducir que el resultado a este ejercicio es $\left ( -6,+\infty \right )$

INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
Suponiendo de nuevo que tenemos dos intervalos A y B, la intersección entre ambos, es el conjunto (que expresaremos como intervalo) de elementos que se ven incluidos tanto en A, como en B. Gráficamente:
Veamos varios ejemplos:
Dados los intervalos: $A=(-7,5)$ y $B=[0,3]$: Hallar el conjunto de intersección $(A \cup B)$ entre ambos, expresandolo como intervalo.
En primer lugar, representamos los intervalos. Una vez hecho esto, nos damos cuenta de que los intervalos comienzan a coincidir desde el elemento -6 (sin incluirlo), hasta el 5 (sin incluirlo tampoco). Por tanto $A \cap B =(-6,5)$

Hallar $A\cap B$, sabiendo que $A=(-\infty,3]$ y $B=(7,14]$
Al representar ambos intervalos, vemos que ningún elemento de A ni de B coinciden. En este tipo de ejercicios, usaremos el conjunto vacío (Ø). De esta manera: $A\cap B=\varnothing$

EJERCICIOS DE INTERVALOS

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