A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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ECUACIONES CON RADICALES

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Las ecuaciones con radicales (irracionales), son aquellas que... en algún miembro de la misma, existe un radical que contiene una o varias incógnitas adentro. La ecuación $\sqrt{x+2}=5-x$ es un simple ejemplo de lo que veremos...
Antes de comenzar, es importante conocer muy bien las identidades notables y la resolución de ecuaciones de grado 1, 2, bicuadradas y no bicuadradas. Para asegurarme de esto, les dejo un resumen de álgebra del curso pasado (4ºESO) para que puedan repasar:

Empezemos viendo un ejemplo sencillo:
 $\sqrt{x+3}=4$
Como dije, es un ejemplo sencillo: dado que solo hemos de elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
 $(\sqrt{x+3})^2=4^2$
$x+3=16$
Ahora sólo nos queda resolver la ecuación de primer grado, y comprobar la solución:
$\mathbf{x=13}$
Comprobación → $\sqrt{13+3}=4 \Rightarrow 4=4$ ✓
Sin embargo, algunas ecuaciones tienen incluso comprobaciones basadas en números complejos, o incluso: existen ecuaciones que no tienen solución, dado que en la comprobación se llega a una igualdad falsa... Veamos algunos ejemplos más:
$\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{x}$
En primer lugar, elevamos ambos miembros al cuadrado:
$(\sqrt{2x^2-1})^2=(\sqrt{x})^2$
$2x^2-1=x \Rightarrow 2x^2-x-1=0$
$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{4} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x_1=1\\
x_2=\frac{-1}{2}
\end{matrix}\right.$
Empezamos a comprobar las soluciones:
Para $x=1 \Leftrightarrow \sqrt{2\cdot 1^2 -1}=\sqrt{1} \Rightarrow 1=1$ ✓
Sin embargo, veamos que ocurre para $x=\frac{-1}{2}$:
$x=\frac{-1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{2\cdot\left ( \frac{-1}{2} \right )^2-1}=\sqrt{\frac{-1}{2}} \rightarrow \#$
Realmente, la comprobación para $x_2$, se cumple. Pero nos interesa calcular las soluciones para x en el campo real. 
Por tanto, la única solución de la ecuación es $\mathbf{x=1}$

$\sqrt{12x+4}=x-5$
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$(\sqrt{12x+4})^2=(x-5)^2$
$12x+4=x^2-10x+25 \Rightarrow x^2-22x+21=0$
$x_{1,2}=\frac{22\pm\sqrt{22^2-4\cdot 1 \cdot 21}}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x_1=21\\
x_2=1
\end{matrix}\right.$
Comprobamos las soluciones:
Para $x=21 \Leftrightarrow \sqrt{12\cdot 21 +4}=21-5 \Rightarrow 16=16$ ✓
No obstante, para $x=1$:
$x=1 \Leftrightarrow \sqrt{12+14}=1-5 \rightarrow 4\neq -4$
Por tanto, la única solución es $\mathbf{x=21}$

Sin embargo, si no acabas de leer este post (:v), el problema va a surgir cuando tengamos una suma de raíces. Para que no te quedes pescando, veamos un ejemplo:

$\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=3$
Como recomendación, lo mejor será repartir las raíces de la siguiente manera:
$\sqrt{x+4}=3-\sqrt{x-1}$
Ahora, empezamos a elevar al cuadrado, para poder así quitarnos una raíz de encima:
$(\sqrt{x+4})^2=(3-\sqrt{x-1})^2$
$x+4=9-6\cdot\sqrt{x-1}+x-1$
$4=6\sqrt{x-1}$
Si nos fijamos, tenemos una ecuación del mismo estilo que las anteriores, así que solo queda elevar otra vez:
 $4^2=(6\sqrt{x-1})^2$
$16=36(x-1)$
$16=36x-36$
$\therefore x=\frac{13}{9}$
Ya solo nos queda comprobar la solución:
$\sqrt{\frac{13}{9}+4}+\sqrt{\frac{13}{9}-1}=3$
$\sqrt{\frac{49}{9}}+\sqrt{\frac{4}{9}}=3$
$\frac{7+2}{3}=3$
$3=3$ ✓
Por tanto, nuestra solución a la ecuación es $\mathbf{x=\frac{13}{9}}$ 

EJERCICIOS DE ECUACIONES IRRACIONALES

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