A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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LOGARITMOS

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Definimos a un logaritmo en base a de b, como el número al que hay que elevar a, para obtener b. Todo logaritmo, consta de tres elementos: una base (a), un argumento (b) y finalmente el resultado del logaritmo (este me lo acabo de invertar, :v), que lo solemos llamar x. De esta manera, podemos tener clara la siguiente estructura:
$\log_ab=x$
Si aplicamos la definición, vemos que realmente cualquier logaritmo puede ser convertido a potencia, en donde a es la base, x el exponente y b el resultado... Por tanto:
$\log_ab=x \Leftrightarrow a^x=b$
Aplicando esta definición, podemos resolver algunos logaritmos simples... Por ejemplo:
Sin embargo, hay que tener claro que no todos los logaritmos existen. Estudiemos más esa parte:
  • No existen logaritmos en base cero $(\nexists \log _0 b)$: Dado que el cero elevado a cualquier potencia, será cero igualmente. Existe otro caso: $\log _0 0$; este logaritmo tampoco existe, dado que es indeterminado (tiene $\infty$ soluciones, exceptuando al uno).
  • No existen logaritmos en base uno $(\nexists \log _1 b)$: Tiene las mismas razones que el cero: el número uno elevado a cualquier potencia, siempre va a resultar uno. También se nos puede plantear: $\log _1 1$, pero tampoco existe, es indeterminado.
  • No existen logaritmos en base negativa $(\nexists \log _a b, a<0)$: En un primer plano, es algo difícil de afirmar... Sin embargo, la demostración analítica es la siguiente (no es única):
Cabe destacar que, existen excepciones a estas propiedades; por ejemplo: $\log _{-2} 1=0$ dado que $(-2)^0=1$... Este ejemplo formulará una de las propiedades de los logaritmos. Sigue leyendo y verás...
  • Asumiendo que $a>0 \Rightarrow$ No existen logaritmos con un argumento negativo: Para demostrarlo, contextualicemos la situación:
    Vemos que: necesariamente, a tiene que cambiar de signo positivo a negativo, cosa que, si tenemos en cuenta que el exponente pertenece a los números reales, la base del logaritmo (a) no puede cambiar de signo...

*Abreviaciones de logaritmos:
Para no tener que poner siempre las bases de los logaritmos más comunes, denotaremos:
 ✳️$\log$ para los logaritmos en base diez.
 ✴️$\ln$ para los logaritmos en base e ($\log _e$).

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
SEGÚN SUS BASES Y ARGUMENTOS
  • Si la base y argumento del logaritmo coinciden, el resultado del mismo, será la potencia a la que esté expuesto el argumento:
$\mathbf{\log_a(a^y)=y}$
  • Independiente de la base existente, si un logaritmo tiene de argumento 1, el resultado del mismo es cero, dado que cualquier número elevado a cero, es uno:
$\mathbf{\log_a(1)=0}$

LOGARITMO DE UN PRODUCTO
La propiedad afirma que un logaritmo de cualquier base, cuyo argumento está constituido por un producto; equivaldrá a la suma de los logaritmos (de misma base) de los factores:
$\mathbf{\log_a(b\cdot c)=\log_a b +\log_a c}$
Para demostrarlo, he recurrido a renombrar cada logaritmo, por las letras z, x, y respectivamente:
LOGARITMO DE UN COCIENTE
Al contrario que la propiedad anterior, afirma que el logaritmo (tampoco importa la base) cuyo argumento está formado por un cociente, resultará equivalente a la resta entre el logaritmo del numerador y el denominador:
$\mathbb{\log_a(\frac{b}{c})=\log_ab-\log_ac}$
Para demostrarlo, recurriríamos al método que aplicamos en la propiedad anterior.

LOGARITMO DE UNA POTENCIA
La propiedad afirma que un logaritmo en cuyo argumento existe un número o una expresión elevada a una potencia, este mismo equivaldrá a la potencia en sí, multiplicando a logaritmo (la base del argumento permanece):
$\mathbb{\log_a(b^c)=c \cdot \log _ab}$
Para poder demostrar esta propiedad, recurrimos a las anteriores propiedades:
CAMBIO DE BASE
En ocasiones, hemos de calcular un logaritmo que no se puede operar, factorizar, usar otras propiedades... En esos casos, hemos de calcular dicho logaritmo usando la calculadora. El problema, es que solo las calculadoras modernas, permiten calcular cualquier logaritmo, sin importar la base que tenga. Sin embargo, no todo el mundo tiene ese tipo de calculadora... En ese caso, hemos de recurrir a esta propiedad:
$\mathbf{\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\log a}{\log b}}$

EJERCICIOS RESUELTOS

Calcular
  • $\log_7 2401$
  • $\mathbf{\log 0'00001}$
  • $\mathbf{\ln e^2}$
Calcular: $\log (4-\sqrt{6})+ \log (4+\sqrt{6})$
Teniendo en cuenta que $a=\ln 2$ y $b=\ln 3$, expresar $\ln \left (\frac{8}{9} \right)$ en función de $a$ y $b$
Obtener A, aplicando las propiedades de los logaritmos:
$\log A=4\log x-\log y-\frac{\log z}{3}$
Parte de la prueba de logaritmos resuelta



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