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Mostrando entradas de agosto, 2018

A simple proof for Euler's formula

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Euler's formula: $$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$ Let $f(\theta )=e^{i\theta}$ and $g(\theta )= \cos \theta + i \sin \theta$, considering $i$ as a constant, lets make our first contact with the proof we need. For $\theta = 0$,  we see that $f(0) = g(0) = 1$, but this is not enough for saying that both functions are actually equal. Then, we will just make our first derivative of both functions: $$f'(\theta) = e^{i \theta} \cdot \frac{d \left ( i \theta \right )}{d \theta}=e^{i \theta } \cdot i := i \cdot f(\theta)$$ $$g ' (\theta) = -\sin \theta + i \cos \theta = i^2 \sin \theta + i \cos \theta := i \cdot g(\theta)$$ We got the same differential equation for both functions. This means there is gonna be, at first: one general solution that includes both functions. But considering that the point $P(0,1)$ belongs to $f(\theta)$ and $g(\theta)$ at the same time, the constant that appears in the general solution will disappear. In other words, the function t...
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DETERMINANTES

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Un determinante , es un valor numérico que se da a una matriz; sin embargo, no todas las matrices tienen un determinante asociado, sino que esta ha de ser una matriz cuadrada. El determinante de una matriz $A$, se escribirá como $|A|$ o $\det (A)$ CÁLCULO DE DETERMINANTES En primer lugar, empezaremos aprendiendo a cálcular todo tipo de determinantes De orden 2: Dada una matriz $A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ Se cumplirá que $|A|=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = d \cdot a - c \cdot b$ De orden 3: Dada una matriz $A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$ Se cumplirá que $|A|=\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix}$ ⇾ REGLA DE SARRUS: Esta regla, es sólo aplicable para dete...
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OPERACIONES CON MATRICES

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Para poder seguir aprendiendo contenidos sobre matrices, hemos de conocer y poder realizar una serie de operaciones básicas con ellas. Por ello, empezaremos por: SUMA DE MATRICES Para sumar dos matrices, hemos de sumar elemento a elemento . Por ello, solo se pueden sumar y restar, matrices de mismas dimensiones. $$\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A+a & B+b\\ C+c & D+d \end{pmatrix}$$ RESTA DE MATRICES "Al igual" que para sumar matrices, hemos de restar elemento a elemento . $$\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-a & B-b\\ C-c & D-d \end{pmatrix}$$ PROPIEDADES Conmutativa $A+B=B+A$ Asociativa $A+(B+C)=(A+B)+C$ *Elemento neutro $A+O=A \quad, \forall A$     Donde $O$, es una matriz, con todos los coeficientes cero, de dimensiones $m \times n$ ACTIVIDAD 1...
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CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES

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Las matrices son una herramientas de las matemáticas, que nos permiten representar una serie de datos (como por ejemplo: listas, tablas...) de forma ordenada: DIMENSIONES DE UNA MATRIZ: Una matriz de $m \times n$ dimensiones, referida por $m$ filas y $n$ columnas, tiene la siguiente estructura: $\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots  & a_{1n}\\ \vdots  & \ddots  & \vdots \\ a_{m1} & \cdots  & a_{mn} \end{pmatrix}$ ABREVIACIÓN DE MATRICES: Usualmente, llamamos a una matriz con cualquier letra mayúscula, como por ejemplo $A$. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: Para 'destacar' un elemento de una matriz, solemos recurrir a la letra $a$, acompañada de un subíndice que indica la posición exacta del elemento en la matriz:  $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} , \: \begin{matrix} a_{11}=2\\ a_{22}=0 \end{matrix}$ IGUALDAD DE MATRICES: Para igualar una matriz a otra, hemos de tener en cuenta dos factores:  ...
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VALOR ABSOLUTO

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El valor absoluto de un número, es el valor del mismo sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de $-3$  es $3$  $(|-3|=3)$   . De aquí, obtenemos la siguiente conclusión: $$ \boldsymbol{Dado \ un \ valor \ x \longrightarrow \left | x \right |\geq 0}$$  PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO   Simetría $|x|=|-x|$ 'Definición positiva' $|0|=0$ 'Valor absoluto y producto' $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$ 'Desigualdad triangular' $|x+y| \leq |x|+|y|$ $|x| = \sqrt{x^2} $ Demostración $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ Demostración $|a^n|=|a|^n$ Demostración $|x|=a \Rightarrow x_1=a , x_2=-a$ Demostración $|x|<n \Rightarrow -n<x<n$ Demostración $|x| \geq c \Rightarrow  -c \geq x, x \geq c $ Demostración En la mayoría de ocasiones, necesitamos convertir la función en una función a trozos . Teniendo como ejemplo general ...
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